利用光照明模型显示平面矢量磁场

利用光照明模型显示平面矢量磁场赵宇，柴建云（清华大学电机工程与应用电子技术系，北京100084）用于显示磁场的光照明模型。其基本思想是为磁通量管图像上的每个像素建立适当的材料颜色和法向量，然后施加光源照明，利用Phong光照模型，绘制出磁场的图像。这种图像表现了有立体感的磁通量管形象，能很好地同时表达出磁场矢量的方向和强弱。该方法实现了场域内磁场的密集采样，生成的磁场图像速度快、质量高，显著地提高了灰度图像对矢量磁场的表现能力。 矢量场可视化是科学可视化领域中的一个重要研究内容。传统上，经常把矢量场信息（方向和幅值）映射到点、线、面、体等特定的几何模型上，然后通过绘制这些几何模型的计算机图形来表现矢量场的分布。例如，我们常用磁力线或磁力线上的短矢图标形象地描述电流周围的磁场。基于几何模型的矢量场显示方法简洁、直观，通用性强；但也存在着一些先天的不足。这些方法一般是对矢量场的稀疏采样，只能表现某些局部点或线上矢量场的性质，难以体现矢量场的连续性。因为致密的采样势必造成显示图像中的各图元间互相混淆。 为了在有限的图像空间中*大限度地反映矢量场的信息，近年来发展出用纹理图像显示矢量场空间分布的方法。这种方法直接将矢量场信息映射为目标图像上各个像素的颜色值，且其采样具有图像空间的连续性。纹理图像通过颜色的有序排列，显示矢量场的方向和幅值。例如，点噪声法（Spotnoi-es）和线积分卷积法（LIC）就是利用场矢量的方向信息，对一幅白噪声背景图像沿定向的椭圆或曲线段作卷积，获得了沿场矢量方向的纹理图像。改进的此类方法将场矢量的幅值信息也包括到卷积过程中，但其显示效果并不理想。 对于平面磁场的显示问题，可以利用磁通量管的概念，生成磁场的纹理图像。与点噪声法和LIC法不同的是，该方法既不需要白噪声背景图像，也不作任何卷积运算。磁场和纹理图像之间存在着简单的映射关系。图像中磁通量管的宽度和切线方向直接对应了矢量场的幅值和方向。 比较上述两种典型的矢量场显示方法，可以看出基于几何模型的方法容易应用材料颜色和照明等图形技巧来强图像的视觉效果；而纹理图像则可以更为全面地反映矢量场的信息。本文将以平面磁场为例，利用磁通量管和凹凸映射的概念，建立磁场的光照明模型。这一方法结合了前述方法的优点，能够获得类似于立体浮雕，形象生动的显示效果。 接下来我们将首先简单地介绍磁通量管的概念及其纹理图像的生成方法一“正弦调制位势图”；然后阐述基于凹凸映射的磁通量管光照明模型，讨论模型和光源参数对图像效果的影响；我们还将给出根据光照明模型绘制磁场纹理图像的算法和应用实例，并归纳这种方法的特点及其局限性。 1正弦函数调制的平面磁场位势图根据Maxwell方程，磁场是一个无散矢量场。 磁感应强度B可以用矢量磁位A的旋度表示。对于平面磁场问题，矢量磁位只存在与场平面垂直方向的空间分量。并且在此平面上，等A线的切线方向恒与磁感应强度的方向一致。 磁通量管的纹理图像可直接由正弦调制位势图生成，其基本过程是：令平面场域空间与图像空间柴建云（196-），男，浙江籍，副教授，博士，研究方向为电磁场计算与可视化，特种电机及其控制，系统。，。 一一对应，然后将位势函数A按其取值范围分段映射到图像象素的灰度值。如果对A的每一个分段区间都采用相同的映射关系，就得到一个关于A的周期性映射函数。用这种方法绘制的灰度图像被称为周期函数调制的位势图。如果该周期函数取为正弦函数，则称为正弦调制位势图（SMP）。 显示了无限长载流导线周围磁场分布的SMP图，以及从位势到灰度的正弦调制函数。其中，g为SMP图中像素上的灰度；gmx为灰度变化幅度；Amx和Amin分别为场域内矢量位势A的*大值和*在图形学上亦被称为几何纹理映射（Bumpmap~Ping）。 磁场平面上的任何一点上的虚拟法向量由两个角度a和卩决定，其中a为虚拟法向量在磁场平面上的方位角，0为其仰角，参见（a）。我们的想法是分别利用磁场矢量的方向和磁通量管的信息确定这两个角度。 （1）将磁场矢量按逆时针旋转90度的方向取为虚拟法向量的方位矢量Nxy的方向。在采用矢量磁小值；位势周期T是一个由观察者控制的可调量，位A表述的情况下，等A线的切线方向即为磁场矢其物理意义是每根通量管中流过的磁通量。在实际量的方向。因此，Nxy的方向应与A的梯度方向一的操作上，也可交互地给定位势Amax和Amin之间通致，即：量管的根数n.从中得到：T=制函数曲线的外法线方向与水平线之间的夹角作为虚拟法向量的仰角，参见（b）。但需注意，这里的灰度应被理解为离开磁场平面的距离，即高度z.假设正弦调制函数曲线的表达式为：2平面矢量磁场的光照明模型2.1光照明模型所谓光照明模型，即是根据光学物理的有关定律，计算景物上任一点投向观察者眼中光亮度大小和色彩的一组数学公式。在被广为采用的简单局部Phong光照模型的实际计算中，我们仅需要求出景物表面各个可见点上的法向量、入射光线方向向量、视线向量和镜面反射方向向量，则可以计算出每一可见点处的光亮度。 2.2平面磁场的凹凸映射平面磁场分布在一个平面上，这个平面在几何上只有单一的法向量，因此直接应用Phong模型并不会增强磁场图像的显示效果。但是，如果能够为这个平面提供一组虚拟的法向量，而且这组虚拟的法向量中包含了磁场矢量的信息，然后再应用Phong模型，那么就可以得到一种全新的矢量磁场显示方法。这里，把磁场矢量信息转化为平面虚拟法向量其中，a和b为常系数；为调制角频率，取决于位势周期T，*=挪T；+为相位角。容易导出，在函数平面（A，z）上，2.3平面矢量磁场的磁位梯度利用光照明模型显示平面矢量磁场的关键在于计算图像中各像素点上的虚拟法向量。对于存在闭式解析解的平面磁场问题，可以直接求取矢量磁位的梯度，并进而算出虚拟法向量；但对于由数值解法，例如有限元法，求出的磁场离散解，还需要逐点的过程9被称为的凹凸映射。蓖漏作乍法滓s计磁位的梯度值。ved.以三角形单元为例。如果己知某单元各节点的坐标和磁位值，不难计算得到该单元内的磁位梯度值。我们定义一个节点上的磁位梯度为其周围相关单元磁位梯度的加权平均值，且加权系数正比于单元对该节点的张角。在求出所有节点上的磁位梯度之后，我们可以根据单元节点上的磁位和磁位梯度线性插值单元内任何一点上的磁位和磁位梯度。 2.4光照明模型的控制参数从上面的叙述我们看到，影响平面磁场光照明模型的主要参数包括入射光线方向向量，调制函数幅值b和位势周期T.光照明模型显示平面矢量磁场图具有一些与正弦函数调制的平面磁场位势图相似的性质。首先，它表现了连续、平滑的磁通量管的形象。通量管的切线方向即为磁场矢量的方向，而通量管的宽度则与邻近场域的平均磁感应强度的大小成反比。由于所有的通量管中流过的磁通量都是相同的，所以从图像上各个通量管宽度的差别与变化，我们可以直观地观察到各处磁感应强度的强弱。其次，我们可以适当地选择通量管中的磁通量T，使得在磁密较高的场域，通量管的宽度变得足够窄，从而可以更明显地观察到磁场矢量的方向。通量管具有的方向与宽度二重属性使我们有可能在其显示图像上同时获得磁场矢量方向和场强幅值的完整信息。 但与平面磁场位势图不同的是，在光照明模型中，我们可以调节调制函数的幅值，从而改变虚拟法向量中仰角的*小值。调制函数的幅值越大，则虚拟法向量中仰角的*小值越小，通量管的立体形象也就越加突出。此外，在光照明模型中，我们还可以通过交互的方法，实时地改变入射光线的方向，获得连续变化的磁场图像动画，以此加深观察者对磁场结构的理解。 在绘制中，如果允许使用全色彩资源，我们也可以将磁场中各点的磁感应强度值映射为相应的对入射光的红、绿、蓝三分量产生不同的漫反射和镜面反射效果的反射系数，这将使磁通量管的形象更加生动鲜明。 3算法实现3.1基本绘制算法绘制一幅利用光照明模型显示平面磁场图的基本算法，可以简单地概括为以下七个步骤：一般可选用二维仿射变换，它包括了平移、旋转和缩放变换；选择适当的正弦调制函数的参数，以此作为位势-法向量映射函数；在目标图像上尚未绘制的像素点中选一像素，利用空间映射函数将该点映射到场域空间；根据磁场的矢量磁位解析公式或数值计算的结果，计算或插值得到该点上的位势值和位势梯度值；利用磁场的凹凸映射函数，由场域点上的位势值和位势梯度值计算对应像素点上的虚拟法向量；利用该点的虚拟法向量，按照光照明模型，求出该像素点的灰度值；检查目标图像上是否还有尚未绘制的像素。 如果有，回到步骤3；否则结束。 3.2有限元分析结果的扫描线绘制算法对于来源于采用一阶线性单元有限元法计算获得的磁场数据，可以米用Gouraud明暗处理或Phong明暗处理（法向量插值明暗处理）等快速明暗处理技术。同时为了减少绘制过程中光亮度插值的运算量，缩短绘制时间，还可以采用绘制速度更快的扫描线量算法。 4实例验证显示了用光照明模型显示的两条圆形截面无限长载流线周围磁场分布图。其中两条载流线中的电流大小相等、方向相反。从这幅图中，可以清晰地看到呈立体浮雕状的磁通量管从两条导线之间的◎-像空间与场域空间的映射变换关系。bShinglUtifC=Um；中心区域向外扩张发散的图案。在中心区域磁感应强度较高，通量管的宽度较窄，且其明暗变化剧烈。 而在边缘区域，磁感应强度低的地方，通量管变宽，明暗过渡亦趋平缓。 显示了一台永磁同步电动机空载磁场的有限元分析结果。有限元计算中采用了一阶三角形单元，如（a）。利用上节所述的扫描线算法，绘制了（b）中电机磁场图。 （a）永磁同步电动机空载磁场的场域剖分结论本文在正弦函数调制的灰度位势图的基础上，利用磁通量管和凹凸映射的概念，提出了一种用于显示磁场的光照明模型。 这一方法结合了显示磁场常用的几何造型法和纹理图像法两类典型方法的优点，实现了场域内磁场的密集采样，能够获得类似于立体浮雕的磁通量管的显示效果，显著地提高了灰度图像对矢量磁场的表现能力，和观察者对观察磁场过程的交互操作能力。 在未来的工作中，还可以充分利用现今功能强大的图形加速硬件，如OpenGL三维图形库，通过它强观察者对观察磁场过程的交互操作能力。此外，还可进一步将透明度考虑到算法中去，给观察者带来更加鲜明的3D通量管形象。